Question

三棱锥P—ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.

(1)求证:AB⊥BC;

(2)如果AB=BC=2,求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小.

Answer 1

(1)证明：如图,取AC中点D,连结PD、BD.

    ∵PA=PC,∴PD⊥AC.

    又已知面PAC⊥面ABC,

    ∴PD⊥面ABC,D为垂足.

    ∵PA=PB=PC,∴DA=DB=DC,可知AC为△ABC的外接圆直径.因此AB⊥BC.

(2)解:∵AB=BC,D为AC中点,

    ∴BD⊥AC.

    又面PAC⊥面ABC,∴BD⊥平面PAC,D为垂足.

    作BE⊥PC于点E,连结DE,

    ∵DE为BE在平面PAC内的射影,

    ∴DE⊥PC,∠BED为所求二面角的平面角.

    在Rt△ABC中,AB=BC=2,

    ∴BD=.

    由(1)知AC=2,

    ∴PD=.

    ∴DE==.

    ∴tan∠BED==.

    ∴∠BED=,

    即侧面PBC与侧面PAC所成角是.