Question

已知异面直线a、b所成的角为70°,则过空间任意一点M可作多少条不同的直线与a、b所成的角都是55°.

Answer 1

解:过M作a′∥a,b′∥b,分直线与a′、b′共面和异面两种情况讨论.

    (1)当所作直线与a′、b′共面时,只有平分110°角的直线l符合题意.

    (2)当所作直线l与a′、b′不在同一平面内时(如图),在l上取一点P,作PO⊥α于O,由于PM与a′、b′所成的角相等(55°),因此,P在α上的射影O在70°角的平分线l₁上.

    ∵∠PMA=55°,∠AMO=35°,∠PMO=θ,

    则cos55°=cosθ·cos35°.

    ∴cosθ=＜1,θ存在且唯一.

    同理,相应的与l关于l₁对称的直线l′也适合.因此,满足条件的直线有三条.