Question

已知函数f(x)=2x³+m³(m∈N^*)．

(1)若x₁、x₂∈(0，m)，求证：f(x₁)+f(x₂)≥2f()；

(2)若a_n=f(n)，n=1，2，…，m-1，其中m≥3，m∈N．求证：a₁+a_m-1≥a₂+a_m-2；

(3)对于任意的a、b、c∈[m]，问以f(a)、f(b)、f(c)的值为长的三条线段是否可构成三角形?请说明理由．

Answer 1

解：(1)先证2①

即证：                             ②

只需证：(x₁+x₂)（）≥2（）³

∵x₁·x₂∈(0，m)，则x₁+x₂＞0

∴只需证：

即（x₁-x₂）²≥0

∴f(x₁)+f(x₂)≥2f()

(2)m=3时显然成立，m＞3时，由（1）得：

a₁+a₃＞2a₂

a₂+a₄＞2a₃

a₃+a₅＞2a₄

a_m-3+a_m-1＞2a_m-2

各式相加得：a₁+a_m-1≥a₂+a_m-2

 (3)f′(x)=6x²

∴f′(x)在[]大于0恒成立

∴f(x)在[m]上为增函数

∴f(x)_min=f()=m³     f(x)_max=f()=m³

∴m³+m³=m³＞m³恒成立

∴2f(x)_min＞f(x)_max

∴以f（a）、f(b)、f(c)的值为长的三条线段能构成三角形