Question

与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1具有相同的离心率且过点（2，-

3

）的椭圆的标准方程是

x2

8

+

y2

6

=1或

3y2

25

+

4x2

25

=1

．

Answer 1

分析：当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

 =1（a＞b＞0），利用椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的方程得出离心率，列出关于a，b关系，将点的坐标代入方程求出a，b即可得到结论．当椭圆的焦点在y轴上时同样得到椭圆的解析式．

解答：解：椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的离心率e=

1

2

，
①当椭圆的焦点在x轴上，由题设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

 =1（a＞b＞0）
由题得：

4 a2 + 3 b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2

⇒

a2=8 b2=6

．
故椭圆方程为：

x2

8

+

y2

6

=1．
②当椭圆的焦点在y轴上，由题设椭圆方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）
由题得：

3 a2 + 4 b2 =1 c a = 1 2 a2=b2+c2

⇒

a2= 25 3 b2= 25 4

．
故椭圆方程为：

3y2

25

+

4x2

25

=1．
故答案为：

x2

8

+

y2

6

=1或

3y2

25

+

4x2

25

=1

点评：本题考查椭圆的标准方程、圆标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．关键是灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力．