Question

设函数f（x）=

a

•

b

， 其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)(x∈R)
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=2，a=

3

，b+c=3，b＞c，求b，c的长．

Answer 1

分析：（1）f(x)=2cos2x+

3

sin2x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，故周期T=π．
（2）由f （A）=2，求得A的值，由余弦定理可得b²+c²-bc=3，再由b²+c²+2bc=9，可得bc=2，根据题中条件求出b，c的长．

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+

3

sin2x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴周期T=π．
（2）f （A）=2，即sin(2A+

π

6

)=

1

2

，A=

π

3

，
∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
∴b²+c²-bc=3，
又b²+c²+2bc=9，∴bc=2，b+c=3，b＞c，解得

b=2 c=1

．

点评：本题考查两角和差的正弦公式，根据三角函数的值求角，三角函数的周期性，余弦定理的应用，求出角A的值，是解题的关键．