Question

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点F，T，M，P满足，，，，，．

(Ⅰ)当t变化时，求点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)A，B是轨迹C的两动点，分别以A，B为切点作轨迹C的切线l₁，l₂，当l₁，l₂的夹角是定值时，求l₁，l₂的交点S的轨迹方程，并说明轨迹形状．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)因为，所以M为线段FT的中点．又，所以P在线段FT的垂直平分线上，所以．又，所以等于点P到直线的距离，所以点P的轨迹C是以为焦点，直线为准线的抛物线，且方程为； 　　(Ⅱ)(1)当l1，l2的夹角是90°时，l1⊥l2，设，，则l1，l2的斜率分别为，．从而×＝－1，即＝． 　　设，∵， 　　∴，化简得． 　　同理有．所以，是　　① 　　①的两个不同的解，，，所以，此时①有两个不同的解． 　　(2)当l1，l2的夹角不是90°时，设夹角的正切为m(m＞0)，则，即 　　　　② 　　将，，代入②式化简得 　　，配方后化简得， 　　此时①有两个不同的解． 　　综上可知l1，l2的夹角是90°时，点S的轨迹方程是，此时轨迹形状是直线，且恰为轨迹C的准线； 　　当l1，l2的夹角的正切为m(m＞0)时，点S的轨迹方程是， 　　此时轨迹形状是以为中心，半实轴长为，半短轴长为的双曲线．