Question

已知函数f（x）=（2cos 2x-1)sin2x+

1

2

cos4xsin2x+

1

2

cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若a∈(

π

2

，π)，且f（a）=

2

2

，求a的值．

Answer 1

分析：将函数进行化简，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）由f（x）解析式，以及f（α）=

2

2

，求出sin（4α+

π

4

）的值，根据α范围，利用特殊角的三角函数值即可求出α的度数．

解答：解：f（x）=cos2xsin2x+

1

2

cos4x=

1

2

（sin4x+cos4x）=

2

2

sin（4x+

π

4

），
（Ⅰ）∵ω=4，∴f（x）的最小正周期T=

π

2

；
∵-1≤sin（4x+

π

4

）≤1，
即-

2

2

≤

2

2

sin（4x+

π

4

）≤

2

2

，
∴f（x）最大值为

2

2

；
（Ⅱ）∵f（α）=

2

2

sin（4α+

π

4

）=

2

2

，
∴sin（4α+

π

4

）=1，
∴4α+

π

4

=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴α=

kπ

2

+

π

16

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴α=

9π

16

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．