Question

（2012•安徽）设函数f（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）+sin²x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+

π

2

）=g（x），且当x∈[0，

π

2

]时，g（x）=

1

2

-f（x），求g（x）在区间[-π，0]上的解析式．

Answer 1

分析：利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式，
（1）直接利用周期公式求解即可．
（2）求出函数g（x）的周期，利用x∈[0，

π

2

]时，g（x）=

1

2

-f（x），对x分类求出函数的解析式即可．

解答：解：函数f（x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）+sin²x
=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x+

1

2

（1-cos2x）=

1

2

-

1

2

sin2x．
（1）函数的最小正周期为T=

2π

2

=π．
（2）当x∈[0，

π

2

]时g（x）=

1

2

-f(x)=

1

2

sin2x．
当x∈[-

π

2

，0]时，x+

π

2

∈[0，

π

2

]，g（x）=g（x+

π

2

）=

1

2

sin2（x+

π

2

）=-

1

2

sin2x．
当x∈[-π，-

π

2

）时，x+π∈[0，

π

2

]，g（x）=g（x+π）=

1

2

sin2（x+π）=

1

2

sin2x．
g（x）在区间[-π，0]上的解析式：g（x）=

- 1 2 sin2x    x∈[ - π 2 ，0] 1 2 sin2x       x∈ [-π，- π 2 )

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的化简，考查计算能力．