练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2013•崇明县二模）某省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时） 的关系为f（x）=|
    x
    x2+1
    -a|+2a+
    2
    3
    ，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0，
    1
    2
    ]．
    （1）令t=
    x
    x2+1
    ，x∈[0，24]，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；
    （2）若用每天f（x）的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a），求M（a）；
    （3）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数M（a）是否超标？
    分析：（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]，利用单调性的定义可以证明；
    （2）先确定t的取值范围是[0，
    1
    2
    ]，再进行分类讨论，从而可得M（a）的解析式；
    （3）利用分段函数，可得当
    1
    4
    ＜a≤
    4
    9
    时不超标，从而可得结论．
    解答：解：（1）单调递增区间为[0，1]；单调递减区间为[1，24]．
    证明：任取0≤x1＜x2≤1，t（x1）-t（x2）=
    (x1-x2)(1-x1x2)
    (1+x12)(1+x22)
    ，
    ∵0≤x1＜x2≤1，∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，∴
    (x1-x2)(1-x1x2)
    (1+x12)(1+x22)
    ＜0，∴t（x1）-t（x2）＜0．
    所以函数t（x）在[0，1]上为增函数．（同理可证在区间[1，24]单调递减）
    （2）由函数的单调性知tmax（x）=t（1）=
    1
    2
    ，tmin（x）=t（0）=0，
    ∴t=
    x
    x2+1
    =
    1
    x+
    1
    x
    ∈[0，
    1
    2
    ]    ，∴t的取值范围是[0，
    1
    2
    ]．
    当a∈[0，
    1
    2
    ]时，由于f（x）=|
    x
    x2+1
    -a|+2a+
    2
    3
    ，则可记g（t）=|t-a|+2a+
    2
    3

    则g（t）=
    -t+3a+
    2
    3
    ，0≤t≤a
    t+a+
    2
    3
    ，a＜t≤
    1
    2

    ∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，
    1
    2
    ]上单调递增，
    且g（0）=3a+
    2
    3
    ．g（
    1
    2
    ）=a+
    7
    6

    ∴g（0）-g（
    1
    2
    ）=2（a-
    1
    4
    ）．
    故M（a）=
    a+
    7
    6
    ，0≤a≤
    1
    4
    3a+
    2
    3
    ，
    1
    4
    ＜a≤
    1
    2
    ．
    （3）当0≤a≤
    1
    4
    时，a+
    7
    6
    ≤2    ，∴a≤
    5
    6
    ，不满足题意a∈[0，
    1
    2
    ]；
    当
    1
    4
    ＜a≤
    1
    2
    时，3a+
    2
    3
    ≤2    ，∴a≤
    4
    9
    ，∴
    1
    4
    ＜a≤
    4
    9
    时，满足题意a∈[0，
    1
    2
    ]．
    故当
    1
    4
    ＜a≤
    4
    9
    时不超标，当0≤a≤
    1
    4
    时超标．
    点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用、考查求函数解析式及分类讨论的思想，属于实际应用题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：
    X 1 2 3 4 5
    f a 0.2 0.45 0.15 0.1
    则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为
    20
    20
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=
    1an•an+1
    ，n∈N*，Tn为数列{bn}的前n项和．
    （1）求数列{an}的通项公式an和数列{bn}的前n项和Tn；
    （2）若对任意的n∈N*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
    （3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）设函数 f(x)=
    2x      (x≤0)
    log2x (x＞0)
    ，函数y=f[f（x）]-1的零点个数为
    2
    2
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f（x）是（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•崇明县二模）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，D为斜边AB的中点，则 
    AB
    •
    CD
    =
    -1
    -1
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案