Question

如图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:||PM|-|PN||=2.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设d为点P到直线l:x=的距离,若|PM|=2|PN|²,求的值.

Answer 1

(1)解:由双曲线的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长2a=2的双曲线,因此半焦距c=2,实半轴a=1,从而虚半轴b=.

所以双曲线的方程为x²=1.

(2)解法一:由(1)及图(1),易知|PN|≥1,因|PM|=2|PN|²,                                   ①

(1)?

知|PM|＞|PN|,故P为双曲线右支上的点,所以|PM|=|PN|+2.                            ②

将②代入①,得2|PN|²-|PN|-2=0,解得|PN|=,舍去,所以|PN|=.

因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=是双曲线的右准线,故=e=2,所以d=|PN|,

因此===4|PN|=1+.

解法二:设P(x,y).因|PN|≥1知|PM|=2|PN|²≥2|PN|＞|PN|,故P在双曲线右支上,所以x≥1.由双曲线方程有y²=3x²-3,

因此|PM|====2x+1.

|PN|===.

从而由|PM|=2|PN|²得2x+1=2(4x²-4x+1),即8x²-10x+1=0.

所以x=(舍去x=).

有|PM|=2x+1=,d=x-=.

故=·=1+.