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    正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p＞0)上,求这个正三角形的边长.

    解析:如图,设正△OAB的顶点A、B在抛物线上,且它们的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,又|OA|=|OB|,

    ∴x12+y12=x22+y22,即x12-x22+2px1-2px2=0.

    ∴(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.∵x1＞1,x2＞0,2p＞0,∴x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.

    由于AB垂直于x轴,且∠AOx=30°,∴=tan30°=.

    而y12=2px1,∴y1=2p.于是|AB|=2y1=4p.


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    ．

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    若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，则这个正三角形的面积是（　　）

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    （1）求焦点为（0，-6），（0，6）且经过点（2，-5）的双曲线方程；
    （2）正三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形的边长．

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    以下四个命题：
    ①平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线；
    ②抛物线y=ax2的焦点到原点的距离是
    |a|
    4
    ；
    ③直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|=x1+x2+p；
    ④正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，则此正三角形的边长为4
    		3
    p    ．其中正确命题的序号是
    ④
    ④
    ．

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    正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px（p＞0）上，求这个正三角形的边长．

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