Question

某公司生产一种产品每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元．经预测知，市场对这种产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．

(1)若该公司的年产量为x(单位：百件)(x＞0)，试把该公司生产并销售这种产品所得年利润表示为当年产量x的函数；

(2)当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？

(3)当该公司这种产品年产量多大时，当年不会亏本？()

Answer 1

答案：略
解析：

(1)当0＜x≤5时，产品全部出售，当x＞5时，产品只能出售500件． 即 (2)当0＜x≤5时， ∴当x=4.75时，f(x)有最大值． 当x＞5时，f(x)=12－0.25x为单调减函数， ∴f(x)＜f(5)=10.75． 又∵10.08＞10.75，∴，此时x=475(件)， ∴当年产量为475件时，利润最大． (3)要使得该公司不亏本，则f(x)≥0． 当x＞5时，12－0.25≥0，∴x≤48，∴0.1≤x≤48． 故年产量为10件到480件时，不亏本． 求分段函数的最值和值域时，应先分段分别求其最值和值域，再以各段的最大值中最大者为函数的最大值，各段的最小值中最小者为函数的最小值；而各段的值域的并集则是函数的值域．