Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使得a_n≥（n+1）λ成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=
所以a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n≥2）
两式相减得na_n=
所以=3（n≥2）
因此数列{na_n}从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列
所以na_n=2•3^n-2（n≥2）
故a_n=
（2）由（1）可知当n≥2n²a_n=2n•3^n-2
当n≥2时，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，
∴3T_n=3+4•3¹+…+2（n-1）•3^n-2+2n•3^n-1，
两式相减得（n≥2）
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
所以T_n=
（3）a_n≥（n+1）λ等价于λ≤，
由（1）可知当n≥2时，
设f（n）=，
则f（n+1）-f（n）=＜0，
∴，又及，
∴所求实数λ的取值范围为λ≤
分析：（1）因为a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=，所以a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n≥2．所以=3（n≥2）．由此能够求出a_n．
（2）由（1）可知当n≥2n²a_n=2n•3^n-2．当n≥2时，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，由错位相减法得到（n≥2），又因为T₁=a₁=1也满足上式，所以T_n=．
（3）a_n≥（n+1）λ等价于λ≤，当n≥2时，，设f（n）=，则f（n+1）-f（n）=＜0，由此能求出实数λ的取值范围．
点评：本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，对数学思维的要求比较高，要注意错位相减求和法和转化与化归思想的合理运用，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．