Question

集合A={（x，y）|（x-）²+（y+1）²≤4}，集合B（m）={（x，y）|y=x²-2mx+m²+2m}，m∈R，设集合B是所有B（m）的并集，则A∩B的面积为________．

Answer 1

分析：根据题意，抛物线y=x²-2mx+m²+2m顶点为A（m，2m），在直线y=2x上运动．由抛物线方程知它的开口向上且形状确定，结合抛物线的性质得定直线y=2x+与抛物线b相切，利用导数研究抛物线的切线算出定直线y=2x-1与抛物线y=x²-2mx+m²+2m相切．因此，可得集合B对应的图形是切线y=2x-1左上方区域，而集合A表示以C（，-1）为圆心半径为2的圆及其内部，它们相交构成的图形是如图的弓形，再结合直线与圆的方程不难算出A∩B对应图形的面积．
解答：∵抛物线方程为y=x²-2mx+m²+2m
∴抛物线的顶点为A（m，2m），且点A在直线y=2x上运动
又∵抛物线的二次项系数a=1，
∴抛物线的开口向上且形状确定，结合顶点A在定直线y=2x上运动，
可得抛物线与定直线y=2x+b相切，
由y'=2x-2m=2，得切点（1+m，1+2m）
代入切线方程得：1+2m=2（1+m）+b，解之得b=-1，得抛物线定直线y=2x-1相切．
∵集合B是所有B（m）的并集，
∴集合B对应的图形是抛物线y=x²-2mx+m²+2m运动形成的轨迹，
由此得到如图所示的直线y=2x-1左上方区域
又∵集合A={（x，y）|（x-）²+（y+1）²≤4}，
表示以C（，-1）为圆心半径为2的圆及其内部
∴集合A∩B的对应的图形是圆C被直线y=2x-1截得的弓形
∵点C到直线y=2x-1的距离d==1
∴A∩B对应的弓形圆心角为θ，满足cos=，解得θ=
因此，A∩B对应图形的面积为S=-×2×2sin=
故答案为：
点评：本题给出抛物线运动形成的轨迹区域，求该区域与以（，-1）为圆心半径为2的圆相交形成的弓形面积，着重考查了直线与圆的方程、直线与抛物线和圆的位置关系、利用导数研究函数图象的切线和弓形面积的求法等知识，属于中档题．