Question

已知函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在x=0，x=4处取得极值．
（1）求常数k的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

分析：（1）因为函数两个极值点已知，令f′（x）=3kx²+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函数的导数确定函数的单调区间，f′（x）=3kx²+6（k-1）x=x²-4x=x（x-4）大于零和小于零分别求出递增和递减区间即可；把函数导数为0点代到f（x）中，判断极大极小值即可．

解答：解：（1）f'（x）=3kx²+6（k-1）x，由于在x=0，x=4处取得极值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，可求得k=

1

3

．                         …（2分）
（2）由（1）可知f(x)=

1

3

x3-2x2+

8

9

，
f'（x）=x²-4x=x（x-4），
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，4）	4	（4，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴当x＜0或x＞4，f（x）为增函数，0≤x≤4，f（x）为减函数；        …（2分）
∴极大值为f(0)=

8

9

，极小值为f(4)=-

88

9

．…（2分）

点评：考查函数在某点取得极值的条件、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值，属于基础题．