Question

已知曲线，从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点，设

．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求证：；

（3）若已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．

Answer 1

解：（1）依题意点的坐标为，

（2），所以：，…（5分）

当时，，

，

（当时取“”）．…（8分）

（3），，

由知

， 而，所以可得．

于是

．     …10分

当时 ；

当时，

当时，          

下面证明：当时，

证法一：（利用组合恒等式放缩）

当时，  ∴当时，     ……13分

证法二：（数学归纳法）证明略

证法三：（函数法）∵时，

构造函数，

∴当时，

∴在区间是减函数，

∴当时，

∴在区间是减函数，

∴当时，

从而时，，即∴当时，