Question

定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f(x)=

log 1 2 (x+1)，x∈[0，1) 1-|x-3|，x∈[1，+∞)

，则关于x的函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的所有零点之和为（　　）

• A、2^a-1
• B、2^-a-1
• C、1-2^-a
• D、1-2^a

Answer 1

分析：函数F（x）=f（x）-a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，为计算提供简便．

解答：解：当-1≤x＜0时?1≥-x＞0，x≤-1?-x≥1，又f（x）为奇函数
∴x＜0时，f(x)=-f(-x)=

-log 1 2 (-x+1)，x∈[-1，0) -1+|-x-3|，x∈(-∞，-1]

画出y=f（x）和y=a（0＜a＜1）的图象，
如图
共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则

x1+x2

2

=-3，

x4+x5

2

=3，而-log

1

2

(-x3+1)=a?log₂（1-x₃）=a?x₃=1-2^a，
可得x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1-2^a，
故选D．

点评：本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键．