Question

已知函数f(x)=x|x+m|+n,其中m,n∈R.

(1)求证:f(x)是奇函数的充要条件是m²+n²=0;

(2)若常数n=-4且f(x)＜0对任意x∈［0,1］恒成立,求m的取值范围.

Answer 1

解:(1)证明:充分性:若m²+n²=0,则m=n=0,

∴f(x)=x|x|.又有f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)为奇函数.

必要性:若f(x)为奇函数,∵x∈R,

∴f(0)=0,即n=0,∴f(x)=x|x+m|.

由f(1)=-f(-1),有|m+1|=|m-1|,∴m=0.

∴f(x)为奇函数,则m=n=0,即m²+n²=0.

∴f(x)为奇函数的充要条件是m²+n²=0.

(2)当x=0时,m∈R,f(x)＜0恒成立;

当x∈(0,1］时,原不等式可变形为|x+m|＜,即-x+＜m＜-x.

当n=-4时,∴只需对x∈(0,1］,满足①②

对①式f₁(x)=-x+在(0,1］上单调递减,∴m＜f₁(1)=3.③

对②式,设f₂(x)=-x,根据单调函数的定义可证明f₂(x)在(0,1］上单调递增,

∴f₂(x)_max=f(1).∴m＞f₂(1)=-5.④

由③④知-5＜m＜3.