Question

设函数f（x）=6x³+3（a+2）x²+2ax。
 （I）若f（x）的两个极值点为x₁，x₂，且x₁x₂=1，求实数a的值；
 （Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=18x²+6（a+2）x+2a
∵x₁，x₂是f（x）的两个极值点
∴f′（x₁）=f'（x₂）=0，即x₁，x₂是l8x²+6（a+2）x+2a=0的两个根
从而
∴；
（Ⅱ）要使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数，需f′（x）≥0 恒成立，即△≤0，但Δ=36（a+2）²-4×18×2a =36（a²+4）>0
所以不存在实数a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的单调函数。