Question

已知函数．
（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（II）当时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
解答：解：（I）当a=-1时，f（x）=lnx+x+-1，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=+1-，因此，f′（2）=1，
即曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，
又f（2）=1n2+2，y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（ln2+2）=x-2，
所以曲线，即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）因为，
所以=，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
（1）当a=0时，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，
此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
（2）当a≠0时，由g（x）=0，
即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，x₂=-1．
①当a=时，x₁=x₂，g（x）≥0恒成立，
此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；
②当0＜a＜时，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
x∈（1，-1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
x∈（-1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
③当a＜0时，由于-1＜0，
x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
x∈（1，∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＞0函数f（x）单调递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，+∞）上单调递增
当a=时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减
当0＜a＜时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；
函数f（x）在（1，-1）上单调递增；
函数f（x）在（-1，+∞）上单调递减．
点评：本小题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．