Question

1．如图，已知点E为平行四边形ABCD的边AB上一点，$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EB}$，F_n（n∈N^*）为边DC上的一列点，连接AF_n交BD于G_n，点G_n（n∈N^*）满足$\overrightarrow{{G_n}D}$=$\frac{1}{3}$a_n+1$\overrightarrow{{G_n}A}$-（3a_n+2）$\overrightarrow{{G_n}E}$，其中数列{a_n}是首项为1的正项数列，则a₄的值为（　　）

• A． 45
• B． 51
• C． 53
• D． 61

Answer 1

分析 运用向量共线，转化为以点G_n为起点的向量，由D，G_n，B共线，设$\overrightarrow{{G}_{n}D}$=λ$\overrightarrow{{G}_{n}B}$，化简整理，运用m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，其中$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不共线，则m=n=0，得到a_n与a_n+1的关系，计算即可得到所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EB}$，
可得$\overrightarrow{{G}_{n}E}$-$\overrightarrow{{G}_{n}A}$=2（$\overrightarrow{{G}_{n}B}$-$\overrightarrow{{G}_{n}E}$），
即为$\overrightarrow{{G}_{n}E}$=$\frac{\overrightarrow{{G}_{n}A}+2\overrightarrow{{G}_{n}B}}{3}$，
由$\overrightarrow{{G_n}D}$=$\frac{1}{3}$a_n+1$\overrightarrow{{G_n}A}$-（3a_n+2）$\overrightarrow{{G_n}E}$，
可得$\overrightarrow{{G_n}D}$=$\frac{1}{3}$a_n+1$\overrightarrow{{G_n}A}$-（3a_n+2）$\frac{\overrightarrow{{G}_{n}A}+2\overrightarrow{{G}_{n}B}}{3}$
=（$\frac{1}{3}$a_n+1-a_n-$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{{G_n}A}$-$\frac{2}{3}$（3a_n+2）$\overrightarrow{{G}_{n}B}$，
由D，G_n，B共线，设$\overrightarrow{{G}_{n}D}$=λ$\overrightarrow{{G}_{n}B}$，
则（$\frac{1}{3}$a_n+1-a_n-$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{{G_n}A}$-（2a_n+$\frac{4}{3}$+λ）$\overrightarrow{{G}_{n}B}$=$\overrightarrow{0}$，
由于$\overrightarrow{{G_n}A}$，$\overrightarrow{{G}_{n}B}$不共线，
可得$\frac{1}{3}$a_n+1-a_n-$\frac{2}{3}$=0，2a_n+$\frac{4}{3}$+λ=0，
由数列{a_n}是首项为1的正项数列，
可得a₂=3a₁+2=5，
a₃=3a₂+2=17，
a₄=3a₃+2=53．
故选：C．

点评 本题考查数列与向量的综合应用，注意运用向量共线定理和两不共线向量之和为零向量，则它们的系数为0，考查运算能力，属于中档题．