Question

（2005•东城区一模）已知函数f（x）=mx³+mx²+3x在R上是增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：f′（x）=3mx²+2mx+3，由f（x）在R上递增可知恒有f′（x）≥0成立，分m=0；m＜0；0＜m＜9；m=9；m＞9几种情况进行讨论即可．

解答：解：f′（x）=3mx²+2mx+3，
（I）当m=0时，f'（x）=3＞0，
∴f（x）在R上为增函数；  
（II）当m≠0时，由f'（x）=0，得△=4m²-36m=4m（m-9），
①当m＜0时，f'（x）开口向下且△＞0，说明存在区间使f'（x）＜0，
∴m＜0时，f（x）在R上不是增函数；  
②当0＜m＜9时，f'（x）开口向上且△＜0，说明f′（x）恒大于0，
∴0＜m＜9时，f（x）在R上是增函数； 
③当m=9时，f(x)=9x3+9x2+3x=9(x+

1

3

)3-

1

9

，
由函数y=x³的单调性可知，m=9时，f（x）在R上增函数； 
④当m＞9时，f'（x）开口向上且△＞0，说明存在区间使f′（x）＜0，
∴m＞9时，f（x）在R上不是增函数；
综上所述，所求m的取值范围是[0，9]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想，导数的符号决定函数的单调性．