Question

在数列{a_n}中,a₁=,.

(1)求a₂,a₃,a₄;

(2)求数列{a_n}的通项公式,并予以证明.

Answer 1

分析：本题考查归纳、猜想及用数学归纳法证题的能力.如何利用归纳假设是本题成败的关键.

解：(1)由题设,得a₂==,a₃==,a₄=        

(2)猜测:a_n=,下面用数学归纳法证明:

①当n=1,2,3,4时,已验证.

②假设当n=k(k≥4)时,公式成立,即

a_k=.         

∴a_k+1=

即(k+3)a_k+1=a₁+a₂+…+a_k-1+a_k

=a_k(2+3+…+k)+a_k

=a_k(1+2+3+…+k)=a_k·(k+1).

∴a_k+1==     

=

这就是说,当n=k+1时,公式也成立.

综上①②可知,对任何正整数n,a_n=.