Question

在如图所示的几何体ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M为
AD的中点．（1）证明：EM⊥AB；（2）求直线BM和平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，根据

EM

•

AB

=0，得到

EM

⊥

AB

，从而有 EM⊥AB．
（2）由（1）知

BM

 的坐标，求出面ADE的法向量为 

n

 的坐标，设直线BM和平面ADE所成角为θ，则sinθ=|cos＜

BM

，

n

＞=|

BM • n

| BM |•|  n |

|．

解答：解：（1）证明：以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设DB=1，则 CE=CA=CB=2．
由于A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，2），D（0，2，1），M（1，1，

1

2

），∴

EM

=（1，1-

3

2

），

AB

=（-2，2，0），∴

EM

•

AB

=-2+2+0=0，∴

EM

⊥

AB

，∴EM⊥AB．
（2）由（1）知

BM

=（1，-1，

1

2

  ），

AD

=（-2，2，1），

AE

=（-2，0，2），

DE

=（0，-2，1）．
设面ADE的法向量为 

n

=（x，y，z），则 

n • AE = 0  n• DE  =0

，即

-2x+2z = 0 -2y+z = 0

，
取

n

=（2，1，2）设直线BM和平面ADE所成角为θ，则 sinθ=|cos＜

BM

，

n

＞=|

BM • n

| BM |•|  n |

|=

4

9

．

点评：本题考查两个向量垂直的条件，两个向量的夹角公式，体现了转化的数学思想，注意本题中sinθ=|cos＜

BM

，

n

＞|．