Question

甲有一个装有x个红球、y个黑球的箱子，乙有一个装有a个红球、b个黑球的箱子，两人各自从自己的箱子里任取一球，并约定：所取两球同色时甲胜，异色时乙胜（a，b，x，y∈N^*）．
（Ⅰ）当x=y=3，a=3，b=2，时，求甲获胜的概率；
（Ⅱ）当x+y=6，a=b=3时，规定：甲取红球获胜得3分；取黑球获胜得1分；甲负得0分．求甲的得分期望达到最大时的x，y值；
（Ⅲ）当x=a，y=b时，这个游戏规则公平吗？请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，甲、乙都取红球的概率，
甲、乙都取黑球的概率，∴甲获胜的概．…（3分）
（Ⅱ）令ξ表示甲的分数，则ξ的取值为0，1，3，，，，

ξ	0	1	3
P

得ξ的分布列如下：
于是；
又x，y∈N^*且x+y=6，∴1≤x≤5，且
故当x=5，y=1时，Eξ的最大值为． …（7分）
（Ⅲ）由题意，两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有C_x+y¹•C_x+y¹=（x+y）²种不同情形，
每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，乙获胜为事件B，则，，
∴，
当x=y时，P（A）=P（B），甲、乙获胜的概率相等，这个游戏规则是公平的；
当x≠y时，P（A）＞P（B），甲获胜的概率大于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平，有利于甲．
…（12分）
分析：（I）根据等可能事件的概率公式分别求出甲、乙都取红球与甲、乙都取黑球的概率，然后将两概率相加即可求出甲胜的概率；
（II）令ξ表示甲的分数，则ξ的取值为0，1，3，然后求出对应的概率，求出ξ的期望，最后根据x，y∈N^*且x+y=6，1≤x≤5，可求出Eξ的最大值；
（III）两人各自从自己的箱子里任取一球比颜色共有C_x+y¹•C_x+y¹=（x+y）²种不同情形，每种情形都是等可能的，然后分别求出甲获胜与乙获胜的概率表达式，作差讨论可判定这个游戏规则是否公平．
点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及散型随机变量的期望，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．