Question

若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）．

(1)求的极值；

(2) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

当时，取极小值，其极小值为;．

函数和存在唯一的隔离直线．

解析:

解:(1) ， ．

 当时，．当时，，此时函数递减；

 当时，，此时函数递增；∴当时，取极小值，其极小值为．

(2)解法一：由（1）可知函数和的图象在处有公共点，

因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即．

由，可得当时恒成立

， 由，得．

下面证明当时恒成立．令，

则， 当时，．

当时，，此时函数递增；当时，，此时函数递减

∴当时，取极大值，其极大值为．从而，即恒成立．       ∴函数和存在唯一的隔离直线．