Question

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P。

（Ⅰ）证明：

（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K。证明：

Answer 1

证明：（Ⅰ）因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM

又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，

OA²=OM?OP。

（Ⅱ）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，

同（Ⅰ），有OB²=ON?OK，又OB=OA，

所以OP?OM=ON?OK，即，

又∠NOP=∠MOK，

所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90º。