Question

若函数y=f（x）满足f（-x）=f（x），当a，b∈（-∞，0]时总有

f(a)-f(b)

a-b

＞0(a≠b)，若f（m+1）＞f（2），则实数m的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：由f（-x）=f（x）得到函数的奇偶性，再结合条件求出函数在[0，+∞）上的单调性，利用偶函数的性质得f（x）=f（|x|），将f（m+1）＞f（2）转化成f（|m+1|）＞f（2），最后根据单调性去掉符号“f”求解即可．

解答：解：∵函数f（x）满足f（-x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数，
又∵当a，b∈（-∞，0]时总有

f(a)-f(b)

a-b

＞0（a≠b），
∴函数f（x）在（-∞，0]上是单调递增函数，
根据偶函数的性质可知函数f（x）在[0，+∞）上是单调递减函数，
∵f（m+1）＞f（2），
∴f（|m+1|）＞f（2），所以|m+1|＜2，
解得：-3＜m＜1．
故选C．

点评：本题主要考查抽象函数的单调性的应用，以及函数奇偶性的应用，属于基础题．解决本题的关键是利用奇偶性把自变量转化到同一单调区间．