Question

已知函数f（x）=

x2

8

-lnx，x∈[1，3]，
（1）求f（x）的最大值与最小值；
（2）若f（x）＜4-at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）直接求出函数的导数，通过导数为0，求出函数的极值点，判断函数的单调性，利用最值定理求出f（x）的最大值与最小值；
（2）利用（1）的结论，f（x）＜4-at于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，转化为4-at＞

1

8

对任意t∈[0，2]恒成立，通过

g(0)＜ 31 8 g(2)＜ 31 8

，求实数a的取值范围．

解答：解：（1）因为函数f（x）=

x2

8

-lnx，
所以f′（x）=

x

4

-

1

x

，令f′（x）=0得x=±2，
因为x∈[1，3]，
 当1＜x＜2时  f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=

1

2

-ln2；
 又f（1）=

1

8

，f（3）=

9

8

-ln3，
∵ln3＞1∴

1

8

-(

9

8

-ln3)=ln3-1＞0
∴f（1）＞f（3），
∴x=1时 f（x）的最大值为

1

8

，
x=2时函数取得最小值为

1

2

-ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x）≤

1

8

，
故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4-at恒成立，
只要4-at＞

1

8

对任意t∈[0，2]恒成立，即at＜

31

8

恒成立
记 g（t）=at，t∈[0，2]
∴

g(0)＜ 31 8 g(2)＜ 31 8

，解得a＜

31

16

，
∴实数a的取值范围是（-∞，

31

16

）．

点评：本题考查函数与导数的关系，函数的单调性的应用，考查函数的导数在闭区间上的最值的求法，考查计算能力，恒成立问题的应用，考查转化思想，计算能力．