Question

9．已知函数f（x）=2lnx-3x²-11x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x+1恒成立，求整数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f′（1），进一步求出f（1），代入直线方程的点斜式，化简可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）令g（x）=f（x）-（a-3）x²-（2a-13）x-1=2lnx-ax²+（2-2a）x-1，求其导函数g′（x）=$\frac{2}{x}-2ax+2-2a=\frac{-2a{x}^{2}+（2-2a）x+2}{x}$．可知当a≤0时，g（x）是（0，+∞）上的递增函数．结合g（1）＞0，知不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x+1不恒成立；当a＞0时，g′（x）=$\frac{-2a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$．求其零点，可得g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函数，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是减函数．得到函数g（x）的最大值为g（$\frac{1}{a}$）=$2ln\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-3=\frac{1}{a}-2lna-3$≤0．令h（a）=$\frac{1}{a}-2lna-3$．由单调性可得h（a）在（0，+∞）上是减函数，结合h（1）＜0，可得整数a的最小值为1．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{2}{x}-6x-11$，f′（1）=-15，f（1）=-14，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y-14=-15（x-1），即y=-15x+1；
（2）令g（x）=f（x）-（a-3）x²-（2a-13）x-1=2lnx-ax²+（2-2a）x-1，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}-2ax+2-2a=\frac{-2a{x}^{2}+（2-2a）x+2}{x}$．
当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，则g（x）是（0，+∞）上的递增函数．
又g（1）=-a+2-2a-1=1-3a＞0，∴不等式f（x）≤（a-3）x²+（2a-13）x+1不恒成立；
当a＞0时，g′（x）=$\frac{-2a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$．
令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，∴当x∈（0，$\frac{1}{a}$）时，g′（x）＞0；当x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）时，g′（x）＜0．
因此，g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上是增函数，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上是减函数．
故函数g（x）的最大值为g（$\frac{1}{a}$）=$2ln\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-3=\frac{1}{a}-2lna-3$≤0．
令h（a）=$\frac{1}{a}-2lna-3$．
则h（a）在（0，+∞）上是减函数，
∵h（1）=-2＜0，
∴当a≥1时，h（a）＜0，∴整数a的最小值为1．

点评 本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查数学转化思想方法，是高考试题中的压轴题．