Question

已知f(x)=

1-x2

x2-x+1

(x∈R)，则函数f（x）的值域为

[-

2 3

3

，

2 3

3

]

．

Answer 1

分析：题目给出了分式函数，且函数的定义域为R，所以可把y看作常数，整理后运用判别式法求函数的值域．

解答：解：因为对任意x∈R都有x²-x+1＞0成立，所以函数的定义域为R．
由y=

1-x2

x2-x+1

⇒（y+1）x²-yx+y-1=0
当y+1=0，即y=-1时，x=2；
当y≠-1时，由△=（-y）²-4（y+1）（y-1）≥0，得：-

2 3

3

≤y≤

2 3

3

且y≠1．
综上：函数f（x）的值域为[-

2 3

3

，

2 3

3

]．
故答案为[-

2 3

3

，

2 3

3

]．

点评：本题考查了函数值域的求法，考查了判别式法，运用判别式法求函数值域的关键是函数的定义域为实数集，解答时同时要考虑二次项的系数为0和不为0两种情况，最后把求得的y的范围取并集．