Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C，的对边，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（1）求角B的大小．
（2）在△ABC中，作角B的角平分线，交AC于D，求证

1

AB

+

1

CB

=

1

BD

．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，由sinA的值不为0，两边同时除以sinA，得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）根据题意画出相应的图形，过D作DE平行于AB，由BD为角平分线得到一对角相等，再由两直线平行得到一对内错角相等，等量代换可得∠ABD=∠CBD=60°，即三角形BDE为等边三角形，可得BE=BD，由DE平行于AB，根据平行得比例得到一个比例式，将其中的CE换为BC-BE，并把BE都换为BD，同时根据BD为角平分线得到另外一个比例式，两个比例式等量代换后，在等式两边同时除以BC，化简后即可得证．

解答：解：（1）利用正弦定理化简已知的等式得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC，
即2sinAcosB=-（sinBcosC+cosBsinC）=-sin（B+C），
又sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosB=-sinA，又sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，又B为三角形的内角，
则B=120°；
（2）根据题意画出图形，如图所示：

∵∠ABC=120°，BD为角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
又DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=60°，
∴∠CBD=∠BDE=60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴BD=BE=DE，
又DE∥AB，
∴

CE

BE

=

CD

AD

，即

BC-BE

BE

=

CD

AD

，
即

BC-BD

BD

=

CD

AD

，
又BD为角平分线，可得

BC

AB

=

CD

AD

，
∴

BC-BD

BD

=

BC

BD

-1=

BC

AB

，
则两边同时除以BC得：

BC

BD

•

1

CB

-

1

CB

=

BC

AB

•

1

CB

，
则

1

BD

-

1

CB

=

1

AB

，即

1

AB

+

1

CB

=

1

BD

．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，角平分线的性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，以及比例的性质，熟练掌握定理、性质及公式是解本题的关键．