Question

设函数f（x）=

m2

3

x3-

3

2

x2+（m+1）x+1．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极大值，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若对任意实数m∈（0，+∞），不等式f'（x）＞x²m²-（x²+1）m+x²-x+1恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数在极值点处的值为0，求出m；令导函数大于0求出x的范围为单调递增区间．
（2）由题意知m（x²+2）-x²-2x＞0对任意m∈（0，+∞）恒成立，分离参数可知对任意m∈（0，+∞），m＞

x2+2x

x2+2

恒成立．则有

x2+2x

x2+2

≤0，等价于x²+2x≤0，解不等式即可得到使原不等式恒成立的x的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=m²x²-3x+（m+1）．
由条件知f′（1）=0
所以m²+m-2=0
故m=1或m=-2
当m=-2时，f（x）在x=1处取得极小值；
当m=1时，f（x）在x=1处取得极大值；
综上可知，m=1
f′（x）=x²-3x+2．
由f′（x）≥0，得x≤1或x≥2；
故f（x）的单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）．
（2）由已知知，m²x²-3x+（m+1）＞x²m²-（x²+1）m+x²-x+1恒成立．
即m（x²+2）-x²-2x＞0对任意m∈（0，+∞）恒成立
由m（x²+2）-x²-2x＞0，及x²+2＞0，
可知对任意m∈（0，+∞），m＞

x2+2x

x2+2

恒成立．
故

x2+2x

x2+2

≤0，
又x²+2＞0恒成立，
所以，x²+2x≤0，
即-2≤x≤0，
故原不等式恒成立的x的取值范围是-2≤x≤0．

点评：本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．