Question

10．已知{a_n}是等差数列，满足a₁=2，a₄=14，数列{b_n}满足b₁=4，b₄=30，且数列{b_n-a_n}是等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列通项公式，求得d=4，写出等差数列{a_n}通项公式，{b_n-a_n}（n∈N⁺）是等比数列，得得q3=8，求得q，
（2））由（1）知${b_n}=4n-2+{2^n}$（n=1，2，3…），分组求和
数列{4n-2}的前n项和为2n²，数列{2ⁿ}的前n项和为$\frac{{2×（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$即可．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得$d=\frac{{{a_4}-{a_1}}}{3}=\frac{14-2}{3}=4$，…（1分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=4n-2．…（3分）
设等比数列（b_n-a_n}的公比为q，由题意得${q^3}=\frac{{{b_4}-{a_4}}}{{{b_1}-{a_1}}}=\frac{30-14}{4-2}=8$，
解得q=2．…（4分）
所以${b_n}-{a_n}=（{b_1}-{a_1}）{q^{n-1}}={2^n}$，所以${b_n}=4n-2+{2^n}$（n=1，2，3…）…（6分）
（2）由（1）知${b_n}=4n-2+{2^n}$（n=1，2，3…）．
数列{4n-2}的前n项和为2n²，…（7分）
数列{2ⁿ}的前n项和为$\frac{{2×（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$．…（9分）
所以，数列{b_n}的前n项和为S_n=2n²+2ⁿ⁺¹-2．…（10分）

点评 本题考查了等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．