Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D，E，F分别为AB₁，CC₁，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：B₁F⊥平面AEF．

Answer 1

分析：（1）取AA₁，的中点G，连接DG，EG，根据三角形中位线定理及面面平行的第二判定定理可得平面GDE∥平面ABC，再由面面平行的性质得到DE∥平面ABC；
（2）根据等腰三角形三线合一，可得AF⊥BC，由面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得B₁F⊥AF；由勾股定理可得B₁F⊥EF，最后由线面垂直的判定定理得到B₁F⊥平面AEF．

解答：证明：（1）取AA₁，的中点G，连接DG，EG
∵D，E为AB₁，CC₁的中点，
则DG∥AB，EG∥AC，
又∵DG，EG?平面GDE，DG∩EG=G，AB，AC?平面ABC
∴平面GDE∥平面ABC，
又∵DG?平面GDE
∴DG∥平面ABC．
（2）连结AF，则AF⊥平面BCC₁B₁．
∵AB=AC，F为BC的中点
∴AF⊥BC
∵棱柱ABC-A₁B₁C₁为直棱柱
∴平面ABC⊥平面BCC₁B₁．
又∵平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC
∴AF⊥平面BCC₁B₁，
又∵B₁F?平面BCC₁B₁，
∴B₁F⊥AF，
在△B₁FE中，B₁F=

6

2

AB，B₁=

3

2

AB，EF=

3

2

AB
由勾股定理易得B₁F⊥EF，
又∵AF，EF?平面AEF，AF∩EF=F
∴B₁F⊥平面AEF．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间线面关系判定的方法和步骤是解答本题的关键．