Question

已知函数f（x）满足：
（1）对于任意的x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
（2）满足“对任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0”，
请写出一个满足这些条件的函数

y=(

1

2

)x

．（写出一个即可）

Answer 1

分析：根据指数的运算性质，可得满足条件（1）时，函数为指数函数，根据函数单调性的定义，可得满足条件（2）时，函数为减函数，举出一个满足条件的例子即可．

解答：解：根据指数的运算性质，a^m+n=a^m+aⁿ，
可得所有指数函数f（x）满足f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）；
又∵满足“对任意x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0”，
即函数是一个在R上的减函数
综上所述，任一底数大于0小于1的指数函数均可
故答案为：y=(

1

2

)x

点评：本题是一个开放题，答案有无限多个，满足底数大于0小于1的指数函数均可．