Question

10．设实数x、y满足2x+y=9．
（1）若|8-y|≤x+3，求x的取值范围；
（2）若x＞0，y＞0，求证：$\frac{x+8y}{2xy}$≥$\frac{25}{18}$．

Answer 1

分析 （1）消去y，得到关于x的不等式，求出x的范围即可；（2）根据基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）∵2x+y=9，
∴由|8-y|＜x+3，得|2x-1|＜x+3，
则-x-3＜2x-1＜x+3，
即$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＜x+3}\\{2x-1＞-x-3}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{2}{3}$＜x＜4；
（2）证明：∵2x+y=9，x＞0，y＞0，
∴$\frac{x+8y}{2xy}$=$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{2y}$=$\frac{1}{9}$（2x+y）（$\frac{4}{x}$+$\frac{1}{2y}$）=$\frac{1}{9}$[$\frac{17}{2}$+（$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$）]，
∵$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4，当且仅当x=2y=$\frac{18}{5}$时“=”成立，
∴$\frac{x+8y}{2xy}$≥$\frac{1}{9}$×（$\frac{17}{2}$+4）=$\frac{25}{18}$．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．