Question

已知数列{a_n}的首项a₁=5,前n项和为S_n,且S_n+1=S_n+n+5(n∈N^*).

(1)证明数列{a_n+1}是等比数列;

(2)令f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1)并比较2f′(1)与23n²-13n的大小.

Answer 1

解:(1)由已知S_n+1=S_n+n+5(n∈N^*)可得n≥2,S_n=2S_n-1+n+4.

两式相减,得S_n+1-S_n=2(S_n-S_n-1)+1,即a_n+1=2a_n+1.

从而a_n+1+1=2(a_n+1).

当n=1时,S₂=2S₁+1+5,则a₂+a₁=2a₁+6.

又a₁=5,所以a₂=11.从而a₂+1=2(a₁+1).

故总有a_n+1+1=2(a_n+1),n∈N^*.

又a₁=5,a₁+1≠0,从而=2,即数列{a_n+1}是等比数列.

(2)由(1)知a_n=3×2ⁿ-1._?

因为f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,所以f′(x)=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1._?

从而f′(1)=a₁+2a₂+…+na_n=(3×2-1)+2(3×2²-1)+…+n(3×2ⁿ-1)=3(2+2×2²+…+n×2ⁿ)-(1+2+…+n)=3(n-1)·2ⁿ⁺¹-+6._?

由上得2f′(1)-(23n²-13n)=12(n-1)·2ⁿ-12(2n²-n-1)=12(n-1)·2ⁿ-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］.①_?

当n=1时,①式=0,所以2f′(1)=23n²-13n;

当n=2时,①式=-12＜0,所以2f′(1)＜23n²-13n;

当n≥3时,n-1＞0,又2ⁿ=(1+1)ⁿ=C⁰_n+C¹_n+…+C^n-1_n+Cⁿ_n≥2n+2＞2n+1,_?

所以(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］＞0,即①＞0.从而2f′(1)＞23n²-13n._?

(或用数学归纳法，略).