Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点M（0，3），直线l：x+y-4=0，点N（x，y）是圆C：x²+y²-2x-1=0上的动点，MA⊥l，NB⊥l，垂足分别为A、B，则线段AB的最大值为________．

Answer 1

3
分析：由题意作出图象，结合题意可知当直线为m时会使得要求的距离最大，然后把问题转化为平行线AB与m间的距离公式即可求解．
解答：解：（如图）由题意可得：圆C的方程为（x-1）²+y²=2
故圆C的圆心在（0，0）半径为，
直线MA⊥l，故直线MA的斜率为1，过点M（0，3）
故直线MA的方程为：y=x+3，
由图象可知当动点N移动到直线为m是会使得AB最大，此时m与圆相切，
故可设m的方程为：y=x+b，故圆心到直线m的距离d==，
解得d=-3，或d=-1（舍去）
故AB的距离为平行线MA与m的距离，由平行线间的距离公式可得AB==3
故答案为：
点评：本题为距离的最值得求解，涉及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式以及平行线间的距离，属中档题．