Question

在△ABC中，在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且asinA=bsinB+csinB+csinC
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，求∠B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理知，asinA=bsinB+csinB+csinC?a²=b²+bc+c²，再利用余弦定理即可求得A的大小；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A=

2π

3

，于是C=

π

3

-B，利用sinB+sin（

π

3

-B）=1，即可求得B的值．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，asinA=bsinB+csinB+csinC，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sin B

=

c

sinC

=2R，
得：sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

，分别代入上式，
得a²=b²+bc+c²，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=-

1

2

，又A∈（0，π），
∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A=

2π

3

，
∴B+C=

π

3

，
∴C=

π

3

-B，
∴sinB+sinC=1?sinB+sin（

π

3

-B）=1，
即sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB
=

1

2

sinB+

3

2

cosB
=sin（B+

π

3

）
=1，
又B∈（0，

π

3

）
∴B=

π

6

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查两角和与差的正弦，（Ⅰ）中求得A=

2π

3

是关键，考查思维与运算能力，属于中档题．