Question

如图所示，在四棱锥S－ABCD中，，四边形ABCD为矩形，的中点，且AD＝SD＝2，DC＝3

(1)求证：

(2)求异面直线AD、EF所成角的余弦值

(3)四棱锥S－ABCD有外接球吗？若有，求出外接球的表面积；若没有，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)设SD的中点为G，连结GF、AG，则可知GF∥DC且GF＝CD

　　又E为AB的中点，故AE∥DC，AE＝CD

　　∴GF∥AE，且GF＝AE

　　所以四边形AEFG为平行四边形，故EF∥AG　　2分

　　又EF平面SAD，AG平面SAD

　　∴EF平面SAD　　4分

　　(2)由(1)知，EF∥AG，所以GAD为异面直线所成角或其补角　　6分

　　∵，故SDDA

　　在RtGDA中，AD＝2，GD＝1，故GA＝

　　∴OSGAD＝，

　　即异面直线所成角的余弦值为　　8分

　　(3)∵DS、DA、DC两两垂直，所以可知DB为四棱锥的外接球的直径

又DC＝

　　∴S＝＝，即四棱锥S－ABCD外接球的表面积为　　12分