Question

（2012•湖北模拟）已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a_n}是等差数列，a₃＞0，则f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）的值（　　）

A．恒为正数

B．恒为负数

C．恒为0

D．可正可负

Answer 1

分析：由函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，知取任何x₂＞x₁，总有f（x₂）＞f（x₁），由函数f（x）是R上的奇函数，知f（0）=0，所以当x＞0，f（0）＞0，当x＜0，f（0）＜0．由数列{a_n}是等差数列，a₁+a₅=2a₃，a₃＞0，知a₁+a₅＞0，所以f（a₁）+f（a₅）＞0，f（a₃）＞0，由此知f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒为正数．

解答：解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数数列，
∴取任何x₂＞x₁，
总有f（x₂）＞f（x₁），
∵函数f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∵函数f（x）是R上的奇函数且是增函数，
∴当x＞0，f（0）＞0，
当x＜0，f（0）＜0．
∵数列{a_n}是等差数列，
a₁+a₅=2a₃，
a₃＞0，
∴a₁+a₅＞0，
则f（a₁）+f（a₅）＞0，
∵f（a₃）＞0，
∴f（a₁）+f（a₃）+f（a₅）恒为正数．

点评：本题考查等差数列的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用函数的性质进行解题．