Question

已知函数f(x)=lnx-

m

x

(m∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域，并讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）问是否存在实数m，使得函数f（x）在区间[1，e]上取得最小值3？请说明理由．

Answer 1

分析：（I）求出导函数，令f′（x）=0，得 x=-m，通过讨论根与定义域的关系，判断出导函数的符号，进一步判断出函数的单调性．
（II）通过讨论根x=-m与区间[1，e]的关系，判断出导函数的符号，判断出函数的单调性，进一步求出f（x）在区间[1，e]上取得最小值，令其等于3，求出m的范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且 f′(x)=

1

x

+

m

x2

=

x+m

x2

．
令f′（x）=0，得 x=-m．--------------（2分）
当m≥0时，x+m＞0，f′(x)=

x+m

x2

＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当m＜0时，在区间（0，-m）上f′（x）＜0，函数f（x）在（0，-m）上是减函数；
在区间（-m，+∞）上f′（x）＞0，函数f（x）在（-m，+∞）上是增函数．---（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

x+m

x2

，
（1）若m≥-1，则在区间[1，e]上f′（x）≥0，函数f（x）在[1，e]上是增函数，
此时，f（x）取最小值f（1），
由f（1）=-m=3，得m=-3∉[-1，+∞）；--------（8分）
（2）若m≤-e，则在区间[1，e]上f′（x）≤0，函数f（x）在[1，e]上是减函数，
此时，f（x）取最小值f（e），
由f(e)=1-

m

e

=3，得m=-2e∈（-∞，-e]；-------（10分）
（3）若-e＜m＜-1，
则在区间[1，-m）上f′（x）≤0，函数f（x）在[1，-m）上是减函数，
在区间（-m，+∞）上f′（x）≥0，函数f（x）在（-m，+∞）上是增函数，
此时，f（x）取最小值f（-m），
由f（-m）=ln（-m）+1=3，得m=e²∉（-e，-1）；------（12分）
综上所述，存在实数m=-2e，使得f（x）在区间[1，e]上取得最小值3．----------（13分）

点评：解决函数的单调性、极值、最值常利用的工具是导函数，若函数中含有参数，一般需要讨论，讨论的起点往往从根与区间的关系上引起讨论．