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    设f（n）=
    1
    n+1
    +
    2
    n+2
    +
    1
    n+3
    +…+
    1
    2n
    (n∈N*)    ，那么f（n+1）-f（n）=
    1
    n+2
    +
    1
    n+3
    +…+
    1
    2n
    +
    1
    2n+1
    +
    1
    2n+2
    -(
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    2n
    )    =
    1
    2n+1
    +
    1
    2n+2
    -
    1
    n+1
    =
    1
    2n+1
    -
    1
    2n+2
    1
    2n+1
    -
    1
    2n+2
    ．
    分析：有已知中f（n）=
    1
    n+1
    +
    2
    n+2
    +
    1
    n+3
    +…+
    1
    2n
    (n∈N*)    ，利用代入法可得f（n+1）=
    1
    n+2
    +
    1
    n+3
    +…+
    1
    2n
    +
    1
    2n+1
    +
    1
    2n+2
    ，进而构造f（n+1）-f（n）的表达式，进而得到答案．
    解答：解：∵f（n）=
    1
    n+1
    +
    2
    n+2
    +
    1
    n+3
    +…+
    1
    2n
    (n∈N*)    ，、
    ∴f（n+1）=
    1
    n+2
    +
    1
    n+3
    +…+
    1
    2n
    +
    1
    2n+1
    +
    1
    2n+2

    ∴f（n+1）-f（n）=
    1
    n+2
    +
    1
    n+3
    +…+
    1
    2n
    +
    1
    2n+1
    +
    1
    2n+2
    -(
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    2n
    )
    =
    1
    2n+1
    +
    1
    2n+2
    -
    1
    n+1

    =
    1
    2n+1
    -
    1
    2n+2

    故答案为：
    1
    2n+1
    -
    1
    2n+2
    点评：本题考查的知识点是函数的解析式的求法，其中根据已知条件，构造出f（n+1）-f（n）的表达式，是解答本题的关键．
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    1
    2n+1
    +
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    1
    2
    +
    1
    3
    +…+
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    ，（n∈N*），设f （n）=S2n+1-Sn+1，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n，不等式f(n)＞[logm(m-1)]2-
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    +
    2
    n+2
    +
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    +
    1
    n+3
    +…+
    1
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    +
    1
    2n+1
    +
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    -(
    1
    n+1
    +
    1
    n+2
    +…+
    1
    2n
    )    =
    1
    2n+1
    +
    1
    2n+2
    -
    1
    n+1
    =______．

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