Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆短轴的两个端点与两个焦点围成正方形，右准线与x轴的交点为E，右焦点为F₂，且|F₂E|=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过F₂的直线交椭圆于A．B两点，且+与向量（1，-）共线（O为坐标原点），求与的夹角．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设知，由此能得到所求椭圆．
（2）当直线AB的斜率不存在时，，不合题意．当直线AB的斜面率为k时，其方程为y=k（x-1），由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，结合+与向量（1，-）共线由题意得，由此能求出与的夹角．
解答：解：（1）设椭圆方程为，
由，得，
∴所求椭圆为．
（2）当直线AB的斜率不存在时，，不合题意．
当直线AB的斜面率为k时，其方程为y=k（x-1），
由，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
∴
=，
由题意得，
∴k=0或k=．
当k=0时，与的夹角为π．
当k=时，∵
=，
∴与的夹角为．
点评：本题考查椭圆的方程和求与的夹角．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆的性质，合理地进行等价转化．