Question

设有n个人，每个人都可能地被分配到N个房间中的任意一间去住(n∈N*)，求下列事件的概率：

(1)指定的n个房间各有一个人住；

(2)恰好有n个房间，其中各住一个人．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　(1)由于每一个人都会等可能的分配到N个房间之中去，就有N种方法，所以以n个人分配到N个房间中去，由分步计数原理总共有Nn种分法．对于已指定的某n个房间来说，第一个人可分配到其中任意一间去住，共有n种住法，第二人可分配到剩余的n－1间中任意一间，从而n－1种住法…，故n个人分配到n个房间去住，每人住一间，共有n！种分配方法，于是所求概率为P1＝ 　　(2)恰好有n个房间，这n个房间可以在N个房问中任意选取，那么共有种选法．对于每种选定的n个房间，与上述第(1)题情形一样有n！种分配方法，所以恰有n个房间其中各住一个人的概率为 　　P2＝＝ 　　答：(1)指定的n个房间各有一个住的概率为；(2)恰好有n个房间各住一个人的概率为 　　评析　　本例常常称为“分房问题”，求解之关键在于等可能事件的认识和划分．对于(1)须明确“指定”一词的含义．对于(2)须明确n个房间是从N个房间选取出来的，不是指定的．该题很好地考查了等可能事件的概率计算以及排列、组合知识的运用．