Question

6．若数列{a_n}满足$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=d（n∈N^*，d为常数），则称数列{a_n}为调和数列，现有一调和数列{b_n}满足b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）若数列c_n=$\frac{{b}_{n}}{n+2}$，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）{b_n}为调和数列，故{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）c_n=$\frac{{b}_{n}}{n+2}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵{b_n}为调和数列，故{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列，
又$\frac{1}{{b}_{2}}-\frac{1}{{b}_{1}}$=1，
故{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列，首项与公差都为1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=1+n-1=n，
故b_n=$\frac{1}{n}$．…（6分）
（Ⅱ）c_n=$\frac{{b}_{n}}{n+2}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，…（8分）
∴S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．