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    已知数列{an}，an≥0，a1＝0，an+12＋an+1－1＝an2(n∈N*)．记：

    Sn＝a1＋a2＋…＋an．．

    求证：当n∈N*时，

    (Ⅰ)an＜an+1；

    (Ⅱ)Sn＞n－2；

    (Ⅲ)Tn＜3．

    答案：
    解析：

    　　本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分．

    　　(Ⅰ)证明：用数学归纳法证明．

    　　①当时，因为是方程的正根，所以．

    　　②假设当时，，

    　　因为，

    　　所以．

    　　即当时，也成立．

    　　根据①和②，可知对任何都成立．

    　　(Ⅱ)证明：由，()，

    　　得．

    　　因为，所以．

    　　由及得，

    　　所以．

    　　(Ⅲ)证明：由，得

    　　，

    　　所以，

    　　于是，

    　　故当时，，

    　　又因为，

    　　所以．


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    已知数列{an}满足
    a□1-1
    2
    +
    a2-1
    22
    +…+
    an-1
    2n
    =n2+n(n∈N*)    ．
    （I）求数列{an}的通项公式；
    （II）求数列{an}的前n项和Sn．

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    已知数列{an}满足a 1=
    2
    5
    ，且对任意n∈N*，都有
    an
    an+1
    =
    4an+2
    an+1+2
    ．
    （1）求证：数列{
    1
    an
    }为等差数列，并求{an}的通项公式；
    （2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求证：Tn＜
    4
    15
    ．

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    已知数列{an}满足a 1=
    2
    5
    ，且对任意n∈N+，都有
    an
    an+1
    =
    4an+2
    an+1+2
    ．
    （1）求{an}的通项公式；
    （2）令bn=an•an+1，Tn=b1+b2+b3+…+bn，求证：Tn＜
    4
    15
    ．

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    已知数列{an}满足a n+an+1=
    1
    2
    (n∈N+)    ，a 1=-
    1
    2
    ，Sn是数列{an}的前n项和，则S2013=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}:,,,…,,…,其中a是大于零的常数,记{an}的前n项和为Sn,计算S1,S2,S3的值,由此推出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.

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