Question

已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为

15

3

．

Answer 1

分析：因为三角形三边构成公差为4的等差数列，设中间的一条边为x，则最大的边为x+4，最小的边为x-4，根据余弦定理表示出cos120°的式子，将各自设出的值代入即可得到关于x的方程，求出方程的解即可得到三角形的边长，然后利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：设三角形的三边分别为x-4，x，x+4，
则cos120°=

x2+(x-4)2-(x+4)2

2x(x-4)

=-

1

2

，
化简得：x-16=4-x，解得x=10，
所以三角形的三边分别为：6，10，14
则△ABC的面积S=

1

2

×6×10sin120°=15

3

．
故答案为：15

3

．

点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．