Question

设函数，其中。

   （Ⅰ）求的单调区间；

   （Ⅱ）当时，证明不等式：；

   （Ⅲ）设的最小值为，证明不等式：；

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得函数的定义域为，且，

，解得

当变化时，的变化情况如下表：

	-	0	+
		极小值

由上表可知,当时，，函数在内单调递减，

当时，，函数在内单调递增，

所以,函数的单调减区间是,函数的单调增区间是。

（Ⅱ）设。

对求导，得：。

当时，，所以在内是增函数。所以在上是增函数。

当时，，即。

同理可证＜x。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，

将代入，

得:

即:1＜(a+1)，

，即。